图论：配对问题与匈牙利算法

信息

2024年8月26日 · ·

引言

配对问题是图论中的一个经典问题，通常涉及将一组对象（如人员、资源等）进行有效配对的问题。在实际应用中，配对问题广泛应用于医学、经济、交通等领域，如医院医生与病人的配对、网约车司机与乘客的配对、婚恋网站配对等。

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配对问题一：网约车司机与乘客配对问题

网约车服务（如 Uber、Lyft 等）通过将司机和乘客进行有效配对来提高效率和满意度。配对问题的目标是为每一位乘客找到一个合适的司机，通常考虑因素包括距离、时间、费用等。

参与者：司机和乘客。
目标：最小化乘客等待时间或旅行成本，同时确保每位乘客都能配对到司机。
约束：司机的可用性、乘客的需求以及交通条件等。

通过图论，可以将这类问题建模为一个二分图，其中一部分是司机，另一部分是乘客，边权可以表示司机与乘客之间的匹配成本（如预计到达时间或距离）。

图模型

我们将使用 networkx 来构建二分图并使用匈牙利算法（Hopcroft–Karp 算法）进行求解。

构建二分图

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建二分图
B = nx.Graph()

# 司机
drivers = ['D1', 'D2', 'D3']
# 乘客
passengers = ['P1', 'P2', 'P3']

# 添加司机和乘客节点
B.add_nodes_from(drivers, bipartite=0)  # 司机
B.add_nodes_from(passengers, bipartite=1)  # 乘客

# 添加边和权重（表示与乘客的匹配成本）
edges = [
    ('D1', 'P1', 5),  # 司机 D1 与乘客 P1 的匹配成本
    ('D1', 'P2', 10),  # 司机 D1 与乘客 P2 的匹配成本
    ('D2', 'P1', 3),  # 司机 D2 与乘客 P1 的匹配成本
    ('D2', 'P3', 8),  # 司机 D2 与乘客 P3 的匹配成本
    ('D3', 'P2', 7),  # 司机 D3 与乘客 P2 的匹配成本
    ('D3', 'P3', 2)   # 司机 D3 与乘客 P3 的匹配成本
]

B.add_weighted_edges_from([(u, v, weight) for u, v, weight in edges])

# 绘制图
pos = nx.multipartite_layout(B, subset_key="bipartite")
nx.draw(B, pos, with_labels=True, node_size=2000, node_color='lightgray', font_size=14)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(B, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(B, pos, edge_labels=edge_labels)
plt.title("网约车司机与乘客配对问题图示")
plt.show()

网约车司机与乘客配对问题图示

图的构建

创建一个二分图，分别添加司机和乘客。
添加边及其权重，权重表示司机和乘客之间的匹配成本（如距离、预计等待时间等）。

在网约车场景中，可以将司机与乘客视作图的点，通过边来代表匹配的关系。

配对模拟

我们将使用匈牙利算法确定最优匹配，使得总成本最小。

from scipy.optimize import linear_sum_assignment
import numpy as np

# 创建成本矩阵（行：司机，列：乘客）
cost_matrix = np.array([
    [5, 10, np.inf],  # D1
    [3, np.inf, 8],   # D2
    [np.inf, 7, 2]    # D3
])

# 使用匈牙利算法解决最优配对问题
row_ind, col_ind = linear_sum_assignment(cost_matrix)

# 打印结果
print("最优配对结果:")
for driver_index, passenger_index in zip(row_ind, col_ind):
    if cost_matrix[driver_index][passenger_index] != np.inf:
        print(f'{drivers[driver_index]} 配对 {passengers[passenger_index]} - 成本: {cost_matrix[driver_index][passenger_index]}')

# 最优配对结果:
# D1 配对 P2 - 成本: 10.0
# D2 配对 P1 - 成本: 3.0
# D3 配对 P3 - 成本: 2.0

设定成本矩阵，表示司机与乘客的匹配成本。
使用 linear_sum_assignment 来寻找总成本最小的匹配方案。
输出每对司机和乘客的最佳匹配及其对应的成本。

通过上述代码，我们能够有效地处理网约车司机与乘客配对问题，并获取最优配对。这种模型可以扩展到实际的网约车服务中，通过考虑实际的实时数据来进行动态配对，有利于提高效率和乘客满意度。

配对问题二：婚恋网站配对

婚恋网站的主要功能是帮助用户找到合适的伴侣。配对问题可以被视为在用户之间建立有效关系的过程，在这一过程中，网站希望根据用户的偏好、兴趣和其他属性来推荐最佳匹配。

问题描述

用户：包括男性和女性，通常表示为两个不同的集合。
目标：为每个用户找到最佳匹配，使得所有用户的满意度最大化。
约束条件：可以考虑用户的个人偏好、对特定特征的偏好等。

在婚恋网站中，相亲双方的偏好可以转化为一个二分图，匈牙利算法同样适用来寻找最佳配对。

配对问题在多个领域内都具有实际意义，分析最佳配对策略可大幅提升效率与满意度。
如何处理复杂的偏好关系及多样化条件，可能要求对算法进行优化与调整。

通过图论，可以将用户和其匹配关系建模为一个二分图，其中一部分是男性用户，另一部分是女性用户，边则表示两者之间的匹配关系，权重可以表示匹配的满意度或兼容性。

图模型

我们将使用 networkx 来构建二分图，并使用匈牙利算法来找到最佳匹配。

构建二分图

下面是将男性用户与女性用户表示为图的代码。

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建二分图
B = nx.Graph()

# 男性用户
males = ['M1', 'M2', 'M3']
# 女性用户
females = ['F1', 'F2', 'F3']

# 添加男性和女性节点
B.add_nodes_from(males, bipartite=0)  # 男性
B.add_nodes_from(females, bipartite=1)  # 女性

# 添加边和权重（表示匹配的满意度）
edges = [
    ('M1', 'F1', 5),  # 男性 M1 与女性 F1 的匹配满意度
    ('M1', 'F2', 10),  # 男性 M1 与女性 F2 的匹配满意度
    ('M2', 'F1', 3),  # 男性 M2 与女性 F1 的匹配满意度
    ('M2', 'F3', 8),  # 男性 M2 与女性 F3 的匹配满意度
    ('M3', 'F2', 7),  # 男性 M3 与女性 F2 的匹配满意度
    ('M3', 'F3', 2)   # 男性 M3 与女性 F3 的匹配满意度
]

B.add_weighted_edges_from([(u, v, weight) for u, v, weight in edges])

# 绘制图
pos = nx.multipartite_layout(B, subset_key="bipartite")
nx.draw(B, pos, with_labels=True, node_size=2000, node_color='lightgray', font_size=14)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(B, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(B, pos, edge_labels=edge_labels)
plt.title("婚恋网站配对问题图示")
plt.show()

婚恋网站配对问题图示

图的构建

创建一个二分图，分别添加男性和女性。
添加边及其权重，权重表示男性与女性之间的匹配满意度。

配对模拟

我们将使用匈牙利算法来找到最佳匹配。

from scipy.optimize import linear_sum_assignment
import numpy as np

# 创建满意度矩阵（行：男性，列：女性）
satisfaction_matrix = np.array([
    [5, 10, 1e10],  # M1
    [3, 1e10, 8],   # M2
    [1e10, 7, 2]    # M3
])

# 使用匈牙利算法解决最优配对问题
row_ind, col_ind = linear_sum_assignment(-satisfaction_matrix)  # 取负值以最大化满意度

# 假设男性和女性的列表如下
males = ['M1', 'M2', 'M3']
females = ['F1', 'F2', 'F3']

# 打印结果
print("最佳配对结果:")
for male_index, female_index in zip(row_ind, col_ind):
    if satisfaction_matrix[male_index][female_index] != np.inf:
        print(f'{males[male_index]} 配对 {females[female_index]} - 满意度: {satisfaction_matrix[male_index][female_index]}')

# 最佳配对结果:
# M1 配对 F3 - 满意度: 10000000000.0
# M2 配对 F2 - 满意度: 10000000000.0
# M3 配对 F1 - 满意度: 10000000000.0

使用匈牙利算法：设定满意度矩阵，使用 linear_sum_assignment 来寻找总满意度最大的匹配方案。 结果的输出：输出每对配对结果和对应的满意度。

通过上述代码，我们能够有效地处理婚恋网站的配对问题，并获取最佳配对。该模型可以扩展到实际的婚恋网站，通过实时分析用户数据，推荐最合适的伴侣。这样的匹配算法可以提高用户满意度，增强用户在平台上的体验。

匈牙利（Hopcroft-Karp）算法

Hopcroft-Karp 算法 是一种求解最大匹配（maximum matching）问题的高效算法，特别是在二分图中，它的运行时间是 $O(E \sqrt{V})$ 其中 $E$ 为边数， $V$ 为顶点数。这使得它在处理较大图的匹配问题时非常有效，同时也兼具了实现的简洁性。

模拟过程推演

假设我们有 4 个司机（U 集合）和 3 个乘客（V 集合），图的边连接如下：

司机 0 可以接乘客 0 和 1
司机 1 可以接乘客 1 和 2
司机 2 可以接乘客 2
司机 3 可以接乘客 1

根据上述边：

$E = \{(0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1)\}$

匈牙利算法推演步骤

初始化：
- pair_U 和 pair_V 均初始化为-1，表示当前没有任何匹配。
- dist 初始化为 0。
BFS 阶段：
- 找到未匹配的司机，将其加入队列，初始化距离。
- 从队列中遍历每个司机，检查其能否找到可增广的路径。如果能够找到未匹配的乘客（pair_V[v] == -1），则找到了增广路径，found_augmenting_path 为 True。
DFS 阶段：
- 遍历每个司机，如果其未匹配，尝试在 DFS 中找到一个增广路径，更新对应的匹配。
迭代：
- 继续执行 BFS 和 DFS，直到找不到增广路径。

模拟编码实现

匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的高效算法，我们可以通过 Python 实现这个算法。

class HopcroftKarp:
    def __init__(self, n, m):
        self.pair_U = [-1] * n
        self.pair_V = [-1] * m
        self.dist = [0] * n
        self.graph = [[] for _ in range(n)]

    def add_edge(self, u, v):
        self.graph[u].append(v)

    def bfs(self):
        queue = []
        for u in range(len(self.pair_U)):
            if self.pair_U[u] == -1:
                queue.append(u)
                self.dist[u] = 0
            else:
                self.dist[u] = float('inf')

        found_augmenting_path = False
        for u in queue:
            for v in self.graph[u]:
                if self.pair_V[v] == -1:
                    found_augmenting_path = True
                else:
                    next_u = self.pair_V[v]
                    if self.dist[next_u] == float('inf'):
                        queue.append(next_u)
                        self.dist[next_u] = self.dist[u] + 1

        return found_augmenting_path

    def dfs(self, u):
        for v in self.graph[u]:
            next_u = self.pair_V[v]
            if next_u == -1 or (self.dist[next_u] == self.dist[u] + 1 and self.dfs(next_u)):
                self.pair_U[u] = v
                self.pair_V[v] = u
                return True
        self.dist[u] = float('inf')
        return False

    def matching(self):
        while self.bfs():
            for u in range(len(self.pair_U)):
                if self.pair_U[u] == -1:
                    self.dfs(u)

        return self.pair_U

# 示例
hk = HopcroftKarp(4, 4)
hk.add_edge(0, 0)
hk.add_edge(0, 1)
hk.add_edge(1, 1)
hk.add_edge(1, 2)
hk.add_edge(2, 2)
hk.add_edge(3, 1)

print(hk.matching())  # 输出每个司机配对的乘客位置

输出结果

最终，调用matching()方法可以输出每个司机所配对的乘客位置，例如 [0, 2, 1, -1]，表示：

司机 0 接乘客 0
司机 1 接乘客 2
司机 2 接乘客 1
司机 3 未接任何乘客

核心概念

类的设计：HopcroftKarp 类中的属性用于存储匹配状态、图的邻接表、距离等。
添加边：add_edge 方法用于构建二分图。
BFS：用于找到所有可能的增广路径，更新距离并返回结果。
DFS：用于尝试通过增广路径更新匹配状态。
匹配方法：通过反复执行 BFS 和 DFS，最终找到最大匹配。

优缺点

优点：
- 高效性：相较于简单的匈牙利算法，Hopcroft-Karp 算法在处理大规模二分图匹配时速度更快。
- 针对二分图的专用性，使得其在此应用场景下表现更好。
缺点：
- 需求限制：只适用于二分图，不能直接应用于非二分图。
- 实现复杂度：尽管相对简单，但实现上比基础的匈牙利算法复杂。

应用场景

配对问题：任务分配、招聘中员工与职位的匹配。
资源分配：如会议室分配，学校的课程安排等。
网络流：在某些网络流模型中，最大匹配问题能够转化为最大流问题。

Hopcroft-Karp 算法在算法设计和应用中具有重要的理论和实用价值。通过高效的匹配过程，可以优化资源配置、降低成本，重要性在于其广泛的应用范围和相对较高的效率，特别是在大规模数据处理和实时系统中的重要性日益突出。

结语

在社会实验与市场机制中，图论可以帮助分析竞争与合作如何影响配对的效果。例如，通过分析竞争者间的边权重，评估配对质量。

图论不仅是数学的抽象工具，更是现代科技和社会发展的重要支撑。探索图论在日常生活中的影响，激励我们在应对复杂问题时，更有效地运用这一理论，提升决策的科学性与效率。

PS：感谢每一位志同道合者的阅读，欢迎关注、点赞、评论！

引言​

配对问题一：网约车司机与乘客配对问题​

图模型​

配对模拟​

配对问题二：婚恋网站配对​

图模型​

配对模拟​

匈牙利（Hopcroft-Karp）算法​

模拟过程推演​

模拟编码实现​

核心概念​

优缺点​

应用场景​

结语​

引言

配对问题一：网约车司机与乘客配对问题

图模型

配对模拟

配对问题二：婚恋网站配对

图模型

配对模拟

匈牙利（Hopcroft-Karp）算法

模拟过程推演

模拟编码实现

核心概念

优缺点

应用场景

结语