索引技术演进

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2024年8月14日 · ·

索引主流技术

B 树（B-Tree）

B 树是一种自平衡的多叉树数据结构，所有叶子节点在同一层级，设计目的是为了高效存储和检索数据。

• 特点：
  • 每个节点包含多个键和子节点指针。
  • 维护排序的键列表，并通过二分查找进行快速查询。
  • 支持动态插入、删除和查找操作。

B+ 树（B+ Tree）

B+ 树是对 B 树的一种改进，区别在于：

• 所有值都存储在叶子节点：非叶子节点仅存储键和指向子节点的指针。
• 叶子节点通过链表连接：方便范围查询。
• 优势：范围查询更高效；叶子节点有序链表链，易于顺序遍历。

B*树（B* Tree）

B* 树是对 B+ 树的进一步改进，目的是提升节点分裂和空间利用率。

• 主要改进：
  • 节点分裂改为三分之一：节点分裂只有在兄弟节点也满的情况下才发生。
  • 增加了兄弟节点的分裂：分裂时节点向右兄弟节点借键，增加了空间利用率。
• 优势：
  • 更高的节点空间利用率。
  • 插入和删除操作造成的调整次数减少。

LSM 树（Log-Structured Merge-Tree）

LSM 树是一种用于高写入负载优化的数据结构，广泛应用于现代数据库（如 Cassandra、LevelDB）。

• 特点：
  • 写操作首先写入内存中的 MemTable，并定期刷新到磁盘生成 SSTable。
  • 通过异步合并和压缩策略提升写性能。
• 优势：
  • 高效地处理大规模写入操作。
  • 读取操作通过内存和磁盘多级机制进行，综合性能优越。

B 树

B 树是一种自平衡的树数据结构，主要用于数据库和文件系统中，以保持数据的有序性并允许高效的搜索、顺序访问、插入和删除操作。

关键特点

• 平衡性：所有叶子节点都处于同一层，保证了树的高度平衡。
• 节点度：每个节点可以有多个子节点。内部节点包含指向子节点的指针，叶子节点则包含实际数据。
• 键的数目：每个节点包含的键数目有明确的最小和最大范围。假设 B 树的阶数（degree）为 $t$，则每个节点至少有 $t-1$ 个键，至多有 $2t-1$ 个键。
• 时间复杂度：搜索、插入和删除操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$，其中 $n$ 是树中元素数目。

这些特点使得 B 树非常适合用于磁盘存取和其他基于块存储的应用。

B 树结构

• 节点组成：
  • 每个节点包含若干个键值（keys）和指向子节点的指针（pointers）。
  • 每个节点最多有 $2t-1$ 个键和 $2t$ 个子节点。这里 $t$ 被称为 B 树的最低度数（minimum degree）。
• 根节点：
  • 特殊的，根节点可以有少于 $t-1$ 个键，但其他节点必须至少有 $t-1$ 个键。
• 叶子节点：
  • 叶子节点不包含子节点指针，只包含实际存储的数据。
• 分裂与合并：
  • 当插入键导致一个节点的键数超过最大值 $2t-1$ 时，需要进行节点分裂（split）。分裂会将中间键上移至父节点，并将分裂的节点分成两个新的节点。
  • 当删除键导致一个节点的键数少于最小值 $t-1$ 时，可能需要合并（merge）节点或从兄弟节点借键，以维持树的平衡。
• 顺序保持：
  • 在每个节点内部，所有键按升序排列。指向子节点的指针将节点分成 $k+1$ 个区间，其中每个区间都包含比前一个键大但比后一个键小的所有键。

例如，假设 $t = 3$（即每个节点可以包含 2 到 5 个键），那么每个节点可能的结构如下：

• 一个节点可能包含 3 个键：[k1, k2, k3]，并有 4 个指向子节点的指针：[P0, P1, P2, P3]。
• 这些指针分隔键的范围，使得所有属于 P0 的值小于 k1，属于 P1 的值在 k1 和 k2 之间，依此类推。

以上结构特性使得 B 树在插入、删除和查找操作时能够高效地保持平衡和有序性。

B 树操作

B 树的主要操作包括插入、删除和查找。每种操作都设计成在保持树的平衡和结构完整性的同时进行。

查找（Search）

查找操作在 B 树中类似于在二分搜索树中的查找：

• 从根节点开始，逐个比较节点内的键值。
• 如果找到目标键，返回对应的节点。
• 如果目标键小于当前节点内的某个键，则转向左子节点进行递归查找；若大于，则转向右子节点。
• 如果到达叶子节点仍未找到目标键，则说明目标键不存在。

插入（Insert）

插入操作需要确保插入后的树仍然是平衡的：

• 首先，在树中找到插入键应当位于的叶子节点位置。
• 将新键插入该叶子节点中，使节点内的键保持有序。
• 如果插入后该节点的键数超过最大限制（$2t-1$ 个键），则进行节点分裂（split）。分裂将节点中间的键上移至父节点，原节点分裂为包含前 $t-1$ 个键和后 $t-1$ 个键的两个新节点。
• 如果分裂引起父节点也超过键数限制，则对父节点继续进行分裂，必要时一直递归到根节点。

删除（Delete）

删除操作稍微复杂些，因为需要保持树的平衡：

• 直接删除：
  • 如果目标键在叶子节点中，直接删除该键。
  • 如果目标键在内部节点中，情况较为复杂：
    • 如果待删除键的直接前驱或后继在对应的子树中存在并且包含至少 $t$ 个键，则用前驱或后继键替换该键，并递归删除前驱或后继节点中的键。
    • 否则，将目标键与其子节点合并，并递归删除目标键。
• 借键：
  • 如果删除操作导致某个节点的键数小于最小限制（$t-1$ 个键），需要从兄弟节点借键以保持平衡。兄弟节点必须有至少 $t$ 个键。
  • 借键后，需要调整父节点和相关子节点的键值和指针。
• 合并：
  • 如果借键不可行，则将受影响的节点与相邻的兄弟节点合并，同时将父节点中的一个键下移至合并后的节点。

复杂度分析

无论是查找、插入还是删除操作，B 树的高度始终保持在 $O(\log n)$ 的范围内（$n$ 为树中的键数量）。因此，这些操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$，保证了高效的性能，尤其适用于需要频繁读写的大规模数据存储环境，如数据库和文件系统。

通过上述操作，B 树能够高效地维护其平衡和有序性，并提供快速的查找、插入和删除操作。

B 树简化实现

class BTreeNode:
    def __init__(self, t, leaf=False):
        self.t = t
        self.leaf = leaf
        self.keys = []
        self.children = []

    def __repr__(self):
        return f'Node(keys={self.keys}, leaf={self.leaf})'

class BTree:
    def __init__(self, t):
        self.root = BTreeNode(t, leaf=True)
        self.t = t

    def search(self, k, x=None):
        if x is None:
            x = self.root
        i = 0
        while i < len(x.keys) and k > x.keys[i]:
            i += 1
        if i < len(x.keys) and k == x.keys[i]:
            return True
        elif x.leaf:
            return False
        else:
            return self.search(k, x.children[i])

    def insert(self, k):
        root = self.root
        if len(root.keys) == (2 * self.t) - 1:
            new_root = BTreeNode(self.t)
            new_root.children.append(self.root)
            self.split_child(new_root, 0)
            self.root = new_root
        self._insert_non_full(self.root, k)

    def split_child(self, x, i):
        y = x.children[i]
        z = BTreeNode(y.t, y.leaf)
        x.children.insert(i + 1, z)
        x.keys.insert(i, y.keys[self.t - 1])
        z.keys = y.keys[self.t : (2 * self.t) - 1]
        y.keys = y.keys[0 : self.t - 1]
        if not y.leaf:
            z.children = y.children[self.t : (2 * self.t)]
            y.children = y.children[0 : self.t]

    def _insert_non_full(self, x, k):
        i = len(x.keys) - 1
        if x.leaf:
            x.keys.append(None)
            while i >= 0 and k < x.keys[i]:
                x.keys[i + 1] = x.keys[i]
                i -= 1
            x.keys[i + 1] = k
        else:
            while i >= 0 and k < x.keys[i]:
                i -= 1
            i += 1
            if len(x.children[i].keys) == (2 * self.t) - 1:
                self.split_child(x, i)
                if k > x.keys[i]:
                    i += 1
            self._insert_non_full(x.children[i], k)

# 示例
btree = BTree(3)
keys = [10, 20, 5, 6, 12, 30, 7, 17]

for key in keys:
    btree.insert(key)

print("搜索 12:", btree.search(12))  # 输出：搜索 12: True
print("搜索 100:", btree.search(100))  # 输出：搜索 100: False

B+ 树

B+ 树是 B 树的另一种变种，主要用于数据库和文件系统中。它在 B 树的基础上进行了优化，能够更高效地处理范围查询和顺序访问。

B+ 树结构

• 节点类型：
  • B+ 树有内节点（内部节点）和叶子节点两种类型。
  • 内节点只包含键值和子节点指针，不直接存储数据。
  • 叶子节点包含所有实际数据，并且叶子节点之间通过链表相互连接，便于顺序访问。
• 键值分布：
  • 内节点用于引导搜索路径，键值将搜索空间分为不同的子区间。
  • 叶子节点存储所有的键值对（或指向数据记录的指针），这些键值按照顺序排列。
• 节点度数：
  • 每个节点（内节点和叶子节点）的度数有一个固定范围，取决于树的阶数 t 。
  • 内节点至少包含 t-1 个键，至多包含 2t-1 个键。
  • 叶子节点至少包含 t-1 个键，至多包含 2t-1 个键。

B+ 树操作

查找（Search）

B+ 树的查找操作分为两部分：在内节点中导航，然后在叶子节点中找到目标键值。

• 从根节点开始，逐个比较内节点内的键值。
• 根据比较结果，选择对应的子节点并继续查找，直到到达叶子节点。
• 在叶子节点中查找目标键。如果找到，返回对应的数据；如果未找到，则目标键不存在。

插入（Insert）

插入操作需要从叶子节点开始，并在必要时进行节点分裂（split）。

• 从根节点开始查找应插入键的叶子节点位置。
• 将新键插入叶子节点，并保持键的顺序排列。
• 如果插入后叶子节点的键数超过最大限制（2t-1），则进行节点分裂：
  • 将叶子节点分裂成两个新节点，并且将中间键值上移到父节点。
  • 如果父节点也需要分裂，则继续递归分裂，必要时一直到根节点。
• 如果根节点分裂，则树的高度增加一层。

删除（Delete）

删除操作相对复杂，因为需要确保节点的键数在允许范围内，并且保持树的平衡。

• 删除叶子节点中的键：
  • 如果目标键在叶子节点中，直接删除该键。
  • 如果删除后叶子节点的键数少于最小限制（t-1），则尝试从邻近的兄弟节点借一个键。
  • 如果无法借键，则合并当前节点与一个兄弟节点，同时从父节点移动一个键到合并中间。
• 删除内节点中的键：
  • 如果目标键在内节点中，需要找到其直接前驱或后继键替换该键，然后在叶子节点中删除前驱或后继键。
  • 删除后，处理叶子节点可能的键数不足问题，确保树的平衡和规范。

复杂度分析

B+ 树在查找、插入和删除操作上的时间复杂度均为 O(log n)$，与 B 树相似。然而，由于 B+ 树叶子节点间的链表结构，它在处理范围查询（range queries）和顺序访问时更为高效。

B+ 树在 B 树的基础上，通过引入叶子节点的链表结构和不同的节点存储策略，提高了顺序访问和范围查询的效率。它广泛应用于数据库和文件系统中，尤其适用于需要频繁进行范围查询和大量数据存取的场景。

B+ 树简化实现

以下是一个简化版的 B+树实现，用于演示 B+树的基本原理。

class BPlusTreeNode:
    def __init__(self, is_leaf=False):
        self.is_leaf = is_leaf
        self.keys = []
        self.children = []

class BPlusTree:
    def __init__(self, max_degree=4):
        self.root = BPlusTreeNode(is_leaf=True)
        self.max_degree = max_degree

    def _find(self, node, key):
        for i, item in enumerate(node.keys):
            if key < item:
                return node.children[i]
        return node.children[-1]

    def _split(self, parent, child, index):
        new_child = BPlusTreeNode(is_leaf=child.is_leaf)
        mid_index = len(child.keys) // 2
        split_key = child.keys[mid_index]

        # Splits keys and children between old and new nodes
        new_child.keys = child.keys[mid_index + 1:]
        child.keys = child.keys[:mid_index]

        if not child.is_leaf:
            new_child.children = child.children[mid_index + 1:]
            child.children = child.children[:mid_index + 1]

        # Insert new child to parent node
        parent.children.insert(index + 1, new_child)
        parent.keys.insert(index, split_key)

    def insert(self, key):
        root = self.root
        if len(root.keys) == self.max_degree - 1:
            new_root = BPlusTreeNode()
            new_root.children.append(self.root)
            self._split(new_root, root, 0)
            self.root = new_root

        self._insert_non_full(self.root, key)

    def _insert_non_full(self, node, key):
        if node.is_leaf:
            node.keys.append(key)
            node.keys.sort()
        else:
            child = self._find(node, key)
            if len(child.keys) == self.max_degree - 1:
                index = node.children.index(child)
                self._split(node, child, index)
                if key > node.keys[index]:
                    child = node.children[index + 1]
            self._insert_non_full(child, key)

    def search(self, key):
        node = self.root
        while not node.is_leaf:
            node = self._find(node, key)

        if key in node.keys:
            return True
        return False

# 测试 B+Tree 的基本功能
bpt = BPlusTree(max_degree=4)
keys = [10, 20, 5, 6, 12, 30, 7, 17]

for key in keys:
    bpt.insert(key)

print("搜索 12:", bpt.search(12))  # 输出：搜索 12: True
print("搜索 100:", bpt.search(100))  # 输出：搜索 100: False

以上实现展现了 B+ 树的一些基本概念和操作细节。实际系统中的 B+ 树实现会更加复杂，为了提高性能和效率，通常涉及更多的平衡调整、优化和处理机制。

关键点解释

• 查找操作（Search）：查找从根节点开始。在每个节点中，比较键值并决定向哪个子节点移动。直至到达叶子节点，然后在叶子节点中进行最终查找。
• 插入操作（Insert）：
  • 查找合适的叶子节点：查找到应该插入的叶子节点。
  • 插入键：在找到的叶子节点中插入键值并保持排序。
  • 节点分裂：如果叶子节点已满（达到最大度），则需要进行节点分裂，将其中间键提升到父节点。如果父节点也满，则继续分裂并递归进行。
• 删除操作（Delete）：先查找到包含待删除键的叶子节点，然后删除键值，并进行必要的调整以确保树的平衡性。如果一个节点因删除操作而变得过于稀疏，则需要进行节点合并或重新分配。

B+ 树在数据库系统和文件系统中被广泛采用，主要原因在于其在范围查询和排序操作中的高效性。通过理解 B+ 树的工作原理和实现细节，可以更好地掌握关系数据库的内部机制，从而在使用和优化数据库时更加游刃有余。

B* 树

B* 树是 B 树的一种改进版本，进一步优化了节点利用率，减少了树的高度。相较于 B 树，B* 树通过更加紧凑的节点布局和分裂策略提高了整体性能。

B* 树结构

• 节点度数：每个节点包含至少 $\lceil {\frac{2t - 1}{3}} \rceil$ 个键，至多 $2t - 1$ 个键。这意味着 B* 树在节点分裂时比 B 树更严格，节点分裂后其子节点也需要更高的键数。
• 子节点指针：和 B 树一样，B* 树的节点也包含指向子节点的指针。但是，B* 树更加灵活地利用兄弟节点间的节点分裂和键移动，以提高空间利用率。

B* 树操作

查找（Search）

B* 树的查找操作与 B 树基本相同：

• 从根节点开始，逐个比较节点内的键值。
• 如果找到目标键，返回对应的节点。
• 如果目标键小于当前节点内的某个键，则转向左子节点继续查找；若大于，则转向右子节点。
• 如果到达叶子节点仍未找到目标键，则说明目标键不存在。

插入（Insert）

B* 树的插入操作比 B 树稍微复杂一些，因为它试图避免节点分裂尽可能地利用兄弟节点的空间：

• 在树中找到插入键应当位于的叶子节点位置。
• 将新键插入该叶子节点中，并保持键的有序性。
• 如果插入后该节点的键数超过最大限制（$2t-1$ 个键），则迭代检查兄弟节点：
  • 借键：如果相邻兄弟节点有空闲位置，可以从中借用一个键并移动适当的键到当前节点，从而避免分裂。
  • 分裂协调：如果相邻的两个兄弟节点都已满，则在父节点中插入新的键并进行三分裂（即，当前节点和两个兄弟节点重新分配键之后，分裂为三个节点）。
• 若父节点也超过了键数限制，则对父节点进行类似的处理，必要时一直递归到根节点。

删除（Delete）

B* 树的删除操作类似于 B 树，同时考虑到需要保持较高的节点利用率：

• 如果目标键在叶子节点中，直接删除该键。
• 如果目标键在内部节点中：
  • 替换：用目标键的前驱或后继替换目标键，并删除前驱或后继节点中的键。
• 删除后，如果某个节点的键数小于最小限制（$\lceil{\frac{2t-1}{3}}\rceil$ 个键），检查兄弟节点：
  • 借键：如果兄弟节点有多于最小限制的键，从兄弟节点借用一个键。
  • 合并：如果所有兄弟节点都处于最小限制，则进行节点合并，同时从父节点移动一个键到合并中间。

复杂度分析

B* 树在查找、插入和删除操作的最坏时间复杂度与 B 树相同，为 $O(\log n)$。但是，由于 B* 树更高的节点利用率和减少的高度，在实践中通常表现出更好的性能，特别是对于大规模数据存储。

B* 树通过更严格的键数限制和优化的分裂与合并策略，提高了整体节点的利用率和效率，相比 B 树有更好的实用性能，尤其在需要处理大量读写操作的数据库和文件系统中表现尤为突出。

B* 树简化实现

class BSTreeNode(BPlusTreeNode):
    pass  # For BSTree, the logic extends from BPlusTreeNode

class BSTree(BPlusTree):
    def _split(self, parent, child, index):
        new_child = BSTreeNode(is_leaf=child.is_leaf)
        if len(child.keys) > ((self.max_degree - 1) * 2) // 3:
            mid_index = len(child.keys) // 2
            split_key = child.keys[mid_index]
            new_child.keys = child.keys[mid_index + 1:]
            child.keys = child.keys[:mid_index]
            if not child.is_leaf:
                new_child.children = child.children[mid_index + 1:]
                child.children = child.children[:mid_index + 1]
            parent.children.insert(index + 1, new_child)
            parent.keys.insert(index, split_key)
        else:
            # Redistribution logic
            pass  # Placeholder for complex redistribution logic

# 简单示例（具体完整实现需更多细节）
bst = BSTree(max_degree=4)
keys = [10, 20, 5, 6, 12, 30, 7, 17]

for key in keys:
    bst.insert(key)

print("搜索 12:", bst.search(12))  # 输出：搜索 12: True
print("搜索 100:", bst.search(100))  # 输出：搜索 100: False

随着数据量的倍速增长和硬件环境的演变，索引技术也在不断发展：

• 自适应索引：数据库系统自动选择和调整索引类型，以适应不断变化的查询模式和数据分布。
• 分布式索引：针对大规模分布式数据库（如 Spanner、CockroachDB），需要高效的分布式索引机制，以支持全球范围内的数据一致性和快速查询。
• 混合存储模式：行存储和列存储的混合模式，更好地支持混合负载（OLTP + OLAP）。
• 基于机器学习的优化：利用机器学习技术，自动优化查询执行计划和索引选择，提高整体系统性能。

结语

通过上述关于 B 树、B+ 树、B* 树和 LSM 树的探讨和实现，我们可以了解到数据库传统索引技术的核心思想、演进逻辑以及未来的发展方向，这些可以为我们的数据库开发和应用提供指引。未来数据库技术的发展将继续推动其应用生态的优化和创新，为未来海量数据的智能化处理提供更高效的解决方案。

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